Милая задачка, доступная первокурснику (или школьнику, знающему, что такое векторное произведение).
Пусть i,j,k — ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства. Как известно, трехмерные векторы можно векторно перемножать. Также широко известно, что операция векторного произведения не является ассоциативной. Например, [[i, j], j] = -i, но [i, [j, j]] = 0. Поэтому в произведении N векторов важно, как расставлены скобочки — это влияет на результат умножения.
Пусть A и B — две произвольные расстановки скобочек. Доказать, что существует набор векторов v1,...,vN, таких что их произведения, посчитанные с помощью расстановок A и B совпадают (и не равны 0), причем каждый из векторов vs является одним из базисных: i, j или k.
(Замечание: без последних двух условий задача была бы тривиальной — достаточно было бы взять нулевые векторы. Кто заранее знает решение этой задачи — просьба не палить).