понедельник, 23 августа 2010 г.

Температура и давление

Очень милая задача. Очень-очень.

Доказать, что в данный момент на поверхности Земли есть две диаметрально противополжных точки с одинаковой температурой и давлением.

Если вы спросите, чем можно пользоваться, я отвечу: тем, что температура и давление непрерывно зависят от точки на поверхности Земли. Это - часть условия.

Подземный переход

Задача известная в определенных кругах геометров. Но те, кто к этим кругам не принадлежит, приглашаются к решению)

В самом центре крупного мегаполиса расположен перекресток двух гигантских дорог одинаковой ширины. Руководство города попросило главного инженера построить подземный переход под перекрестком так, чтобы можно было добраться из любого угла перекрестка в любой (см. картинку слева). Инженер, конечно, мог бы построить переход так, как это делают обычно - буковкой Н (см. вторую картинку справа). Но он смекнул, что можно прорыть переход меньшей суммарной длины. Задача: как надо прорыть переход, чтобы его длина была наименьшей возможной? И какова суммарная длина всех тоннелей в таком переходе, если ширина дороги 1км?

И главный вопрос: как вы думаете, почему все-таки переходы роют буковкой Н, а не так, как главный инженер?

Пираты и золото

Прикольная логическая задачка. Не гроб, общедоступная.

Пять пиратов потерпели крушение на необитаемом острове. Поскольку все они были дико жадные и вообще уроды, вместо того чтобы спасаться, они решили поделить оставшиеся сокровища: 100 золотых монет. Дележка происходит следующим образом: каждый из пиратов (по очереди) предлагает способ, как надо разделить монеты (наиболее честный по его мнению, разумеется). После того как способ предложен, пираты голосуют. Если хотя бы половина пиратов проголосовала за предложенный способ, то денежки делятся согласно такому плану и пираты счастливо расходятся. Если же больше половины пиратов проголосовало против, то пирата, предложившего дележку, ослепляют, обезглавливают и скармливают акулам. После чего следующий по порядку пират предлагает свой способ делёжки и всё повторяется. Известно, что в интересах каждого пирата, во-первых, выжить, во-втрорых, заиметь побольше золотых.

Вопрос: какой способ делёжки должен предложить самый первый пират, чтобы получить максимальный профит? А да, порядок, в котором пираты будут предлагать свои варианты, заранее оговорен.

Экстраординарная кусудама-многогранник

Эта задача возникла у меня как размышление об оригами. Я крутил в руках квадратный модуль и думал, неужели из него нельзя сделать что-то необычное? Очевидно, как из него сделать какое-нибудь нагромождение кубиков. Например, фигурки из тетриса или губку Менгера. А вот более экстраординарные формы бывают?

Итак, задача:
Придумать 3D многогранник, у которого все грани - квадраты (именно квадраты, правильные), и у которого есть угол, не равный 90, 180 и 270 градусам.

Я уверен, что такой существует. В попытках решить у меня вылезла система диофантовых уравнений. Если бы она имела решение, то ответ был бы положительным. Но я не знаю, имеет ли она решение.

А не разрезать ли нам... круг?

В круге отмечена точка, не совпадающая с его центром. Разрезать круг на конечное число частей, из которых можно собрать другой круг с центром в отмеченной точке.

Главное: не решать эту задачу, зная парадокс Банаха-Тарского)))

Мышки-кошки

Такая была задачка в школьное время по физике. Решения я не знаю. Буду весьма польщен, если кто напишет)

Треугольник КMN - прямоугольный с прямым углом M. В точке М находится мышь, в точке N - нора, а в точке K - кот. В некоторый момент мышь начинает бежать к норе с постоянной скоростью V, а кот начинает бежать по направлению к мыши с постоянной (по модулю) скоростью W. При каком соотношении на величины КM, MN, V и W кот поймает мышь до того как она спрячется в нору?

Разрезание на прямоугольники

Большой прямоугольник разделен на конечное число маленьких прямоугольничков. Известно, что у каждого маленького прямоугольничка хотя бы одна сторона целочисленная. Докажите, что у большого прямоугольника тоже хотя бы одна сторона целочисленная.

За эту задачу спасибо Сергею Мелихову. Кстати, он, вроде как, решил то же самое (или что-то похожее) для тора :) Можете и вы подумать, хотя это сложнее. Решение для тора я не знаю.

Задача о длинном рубле

Можно ли квадрат бумаги сложить определенным образом, чтобы у полученной фигуры периметр был больше, чем у исходного квадрата? Резать и рвать, разумеется, нельзя.

Задача математическая, но больше шансов ее решить - у оригамистов. Задачу придумал Арнольд, будучи зеленым юнцом (хотя на западе считают автором кого-то другого). Решил ее небезизвестный американский оригамист-физик Роберт Лэнг (хотя какой-то русский товарисч оспаривал строгость доказательства и предложил своё решение).

Отдельное спасибо Максиму Мостакову за то, что обратил моё внимание на эту замечательную задачу.

Хотели бы вы поиграть с кругами?

Рассмотрим прямую L и точку B, не лежащую на этой прямой. На прямой L отметили точки ...,A_-1, A_0,A_1,A_2,..., индексированные целыми числами в правильном порядке. Причем окружности, вписанные в треугольники BA_iA_{i+1} оказались равными при всех i. Доказать, что для любого k окружности, вписанные в треугольники BA_iA_{i+k}, также будут равны при всех значениях i.

Очень хочется узнать нормальное геометрическое решение этой задачи. Возможно, оно существует.

Векторное произведение

Милая задачка, доступная первокурснику (или школьнику, знающему, что такое векторное произведение).

Пусть i,j,k - ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства. Как известно, трехмерные векторы можно векторно перемножать. Также широко известно, что операция векторного произведения не является ассоциативной. Например, [ [i , j] , j] = -i, но [i , [j , j] ] = 0. Поэтому в произведении N векторов важно, как расставлены скобочки --- это влияет на результат умножения.
Пусть A и B -- две произвольные расстановки скобочек. Доказать, что существует набор векторов v_1,...,v_N, таких что их произведения, посчитанные с помощью расстановок A и B совпадают (и не равны 0), причем каждый из векторов v_s является одним из базисных: i , j или k.

(Замечание: без последних двух условий задача была бы тривиальной --- достаточно было бы взять нулевые векторы. Кто заранее знает решение этой задачи --- просьба не палить))).

Таблица чисел

Задача не сложная, но меня вштырила.

В таблицу 10х10 выписаны по порядку числа от 1 до 100. После этого часть чисел стерли, причем оказалось, что в каждой строке и каждом столбце было стерто 3 числа. Чему равна сумма оставшихся чисел?

Интересные задачки

С этого дня я буду постить математические задачки разного уровня сложности. Некоторые из них доступны пятикласснику, а некоторые... ммм... ну их решения составляют научные статьи) Если на задаче стоит тег "академично", то школьником за нее, вероятно, лучше не браться (если он не пятисемит какой-нибудь). А вот тег "школа" предполагает, что школьник может получить некий кайф от ее решения, а, быть может, даже имеет больше шансов ее решить.

Я не смог установить достоверно авторство каждой задачи. Там где мог, я пытался писать некую предысторию и авторство. Если вы нашли здесь задачу с неуказанным автором, и вы оного автора знаете, - напишите соответствующий комментарий.

Когда-нибудь я заведу отдельный тред с решениями и указаниями, если на то будет чей-либо интерес.

Have fun!

вторник, 10 августа 2010 г.

Вводное сообщение

Я не уверен, стану ли я поддерживать этот блог. Возможно, интересующиеся люди смогут найти здесь что-то для себя...