Это еще одна классическая задача.
Доказать, что в данный момент на поверхности Земли есть две диаметрально противополжных точки с одинаковой температурой и давлением.
Если вы спросите, чем можно пользоваться, я отвечу: тем, что температура и давление непрерывно зависят от точки на поверхности Земли. Это - часть условия.
Пусть x -- точка на Земле, а x' -- диаметрально противоположная точка. Температура и давление задают функцию f из сферы в плоскость: S^2 --> R^2. Допустим, для каждой точки x на сфере: f(x) не равно f(x'). Тогда можно определить новую функцию g(x)=(f(x)-f(x'))/|f(x)-f(x')| В знаменателе не ноль по предположению. Образ этой функции лежит в единичной окружности на плоскости (за счет деления на модуль вектора). Получили отображение g:S^2-->S^1, такое что g(x') = -g(x), как легко проверить. Т.е. отображение g эквивариантно относительно естественного антиподального действия Z_2. Теорема Борсука-Улама гласит, что не существует Z_2-эквивариантного отображения сферы в сферу меньшей размерности, поэтому приходим к противоречию.
ОтветитьУдалитьСамое приличное доказательство теоремы Борсука-Улама -- через естественность хар.классов Штифеля-Уитни. Есть еще стопицот доказательств, см. книгу Matousek "Using Borsuk-Ulam theorem". Там очень много клевых вещей и мимимишные барсуки в конце доказательств. Конкретную задачу про несуществование эквивариантного отображения из S^2 в S^1 можно решить руками при помощи степени отображения и обмоток окружности.