вотэтазадача 20. Задача про персидские ковры

Весь пол квадратной залы устлали персидскими коврами. Персидские ковры бывают прямоугольные, круглые, треугольные, в виде правильных шестиугольников и в виде правильных семнадцатиугольников. Посчитали числа a1 - сколько всего ковров, а2 - сколько пар ковров, накладывающихся друг на друга (хотя бы краешком), а3 - сколько троек ковров, покрывающих хотя бы одну общую точку, и т.д. Доказать, что а1 - а2 + а3 - а4 + ... = 1. 

Интересующимся: либо рассмотреть эйлерову характеристику как меру, либо заботать нервы покрытий в смысле П.С.Александрова.

2 комментария:

  1. Замечание: здесь достаточно требовать, чтобы все ковры были замкнутыми выпуклыми множествами, а форма ни при чем.

    Первый вариант решения (его довольно трудно строго обосновать, но возможно): Эйлерова характеристика обладает свойствами меры, если ее определить на "достаточно приличной" сигма-алгебре (это не борелевские множества, тут более специальный класс). В частности, для нее верна формула включения-исключения. Эйлерова характеристика объединения всех ковров, т.е. всего зала равна 1 (т.к. зал просто гомотопически эквивалентен точке, например). С другой стороны по формуле включения-исключения эта величина равна "сумма э.х. ковров"-"сумма э.х. пересечений двух ковров"+"сумма э.х. тройных пересечений"- и т.д. Каждое пересечение является выпуклым замкнутым множеством, значит его э.х. равна 1, откуда следует док-во. Тут проблема со строгим определением э.х. для подмножеств плоскости.

    Второй вариант решения, наиболее естественный. Рассмотрим нерв покрытия прямоугольника коврами. Это покрытие локально стягиваемо (т.е. все возможные непустые пересечения элементов покрытия --- стягиваемы). Значит, по теореме П.С.Александрова, нерв этого покрытия гомотопически эквивалентен покрываемому пространству, следовательно гомотопически эквивалентен точке. Значит их эйлеровы характеристики совпадают. Нерв покрытия представляет из себя симплициальный комплекс, симплексы которого соответствуют наборам пересекающихся в совокупности ковров. Эйлерова характеристика нерва как раз равна а1 - а2 + а3 - а4 + ... Но с другой стороны она совпадает с э.х. всего пространства, т.е. с 1, ч.т.д. Про нервы, кстати, неплохо написано в Hatcher "Algebraic topology" (недавно переведена), в одном из приложений.

    ОтветитьУдалить
  2. Случайно наткнулся на решение этой задачи в Арнольде "Задачи для детей от 5 до 15", задача N26. Обернем сферу цилиндром того же радиуса, так чтобы он касался сферы по экватору. Спроецируем сферу на цилиндр из оси, перпендикулярной экватору. Дифференциально-геометрическая интуиция подсказывает, что такая проекция сохраняет площади (якобиан=1 для всех точек), а значит площадь сферы равна площади цилиндрической ленты, т.е. 2 pi R x 2R = 4 pi R^2. Это же соображение позволяет доказать известную формулу Архимеда для площади сферического пояса, высеченную по легенде на его гробнице. Это же используется в конструкции равновеликой цилиндрической проекции Ламберта https://ru.wikipedia.org/wiki/Равновеликая_цилиндрическая_проекция_Ламберта

    ОтветитьУдалить